反对称矩阵（或斜对称矩阵）与向量之间存在着紧密且重要的关系，尤其是在三维空间中。
在三维空间中，反对称矩阵与向量之间存在一个一一对应关系：
每个向量 v 对应一个唯一的反对称矩阵 [v]×。
每个 3×3反对称矩阵对应一个唯一的向量 v。
这个关系的核心应用是用矩阵乘法 [a]×b 来表示向量叉积 a×b。
这一对应关系深刻连接了线性代数（矩阵）与向量几何（叉积），并且在经典力学（角动量、力矩）、刚体旋转、计算机视觉、机器人学等领域有着极其重要的应用。
这种简洁而强大的对应关系是三维空间特有的美妙性质。
1.基本定义
2.核心关系：向量 → 反对称矩阵 (叉积矩阵)
3.关键作用：表示叉积
这个对应关系最重要的应用是用矩阵乘法表示向量的叉积。对于任意两个三维向量 a 和 b，它们的叉积 a×b可以写成：
几何意义：矩阵 [a]× 作用于向量 b 的效果等价于将 b 与 a 做叉积。
这在线性变换、旋转和物理学中非常有用。
4.关系：反对称矩阵 → 向量
反之，任意一个 3×3反对称矩阵 A：
5.重要性质
零空间：矩阵 [v]× 的零空间（核）是平行于 v 的所有向量。
即 [v]×u=0当且仅当 u 与 v 平行（u=kv）。
秩：如果 v≠0，则 [v]× 的秩为 2。
特征值与特征向量：
特征值：0, i||v||, -i||v||。
与特征值 0 对应的特征向量就是 v本身（因为 [v]×v=v×v=0)。
李代数：所有 3×3反对称矩阵构成的集合在矩阵李括号 [A,B]=AB-BA 下构成一个李代数，记为 so(3)。它同构于三维空间中的向量在叉积运算下构成的李代数 (R^3,×)。这个同构映射正是反对称矩阵与其对应向量之间的映射：
旋转：在三维旋转理论中，旋转矩阵 R可以通过其李代数元素（一个反对称矩阵 [ω]×）来表示（指数映射：R=exp([ω]×)）。这里的向量 ω 与旋转轴和旋转角度相关。
6.推广到 n 维
在 n 维空间中，一个反对称矩阵的自由度是 n(n-1)/2。
当 n=3 时，3(3-1)/2=3，恰好等于三维向量的自由度。
这是三维空间特有的性质，使得每个反对称矩阵可以唯一地对应一个向量（通过上述映射），并且这个向量可以用来表示叉积（叉积本身也是三维空间特有的二元运算）。
在 n>3 维空间中，一个反对称矩阵一般不能简单地对应到一个向量，因为自由度不匹配。叉积运算在更高维空间也没有直接推广（通常被推广为外积或楔积）。