系统经状态变换后特征值及其传递函数矩阵的不变性

1. 状态变换简介

在状态空间表达中,一个线性系统通常由以下形式描述:

其中,(A) 为系统状态矩阵,(B) 输入矩阵,(C) 输出矩阵,(D) 直接传递矩阵。


如果对状态进行线性变换:


其中,(T) 为非奇异(可逆)x=Tz 变换矩阵,则新系统的状态空间模型为:


变换后,系统矩阵变为:

对应的传递函数为:

变换后:

2. 特征值的不变性

特征值(或谱)是矩阵的本质性质之一,反映系统的动态特性(如极点位置)。

  • 结论:状态变换不会改变矩阵 (A) 的特征值。
  • 这是因为:
  • 两个相似矩阵具有相同的特征值。
  • 也就是说:
  • 因此,进行状态变换后,系统的特征值(极点)保持不变。

3. 传递函数矩阵的不变性

传递函数矩阵定义为:

  • 结论: 传递函数本身在状态变换后会发生变化,具体而言:
  • 不变性:对于整个传递函数矩阵,只要考虑输入到输出的映射关系(即输入信号与输出信号之间的关系),传递函数的极点(即系统的特征值,极点位置)是保持不变的。但是,传递函数的具体表达式(系数矩阵)会因状态变换而变化,除非在特定的变换条件下(比如,观察矩阵和控制矩阵变换在对应的逆关系下)。

4. 小结

  • 特征值(极点):在状态变换后保持不变,因为它们是矩阵的相似不变特性。
  • 传递函数矩阵:在状态变换后,其表达式会改变,但系统的极点(即传递函数的极点)保持不变。
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